Tentang jarak titik ke kurva (1 soal aja)?

misal jarak terdekat titik (3,0) ke kurva terletak pada titik (a,b)

y = √x

x = a

y = √a

(a,b) = (a,√a)

gradien garis singgung pd kurva di titik (a,b)

m = dy/dx = 1/(2√x)

m = 1/(2√a)

gradien grs yg melalui (a,√a) dan (3,0)

m' = (√a-0)/(a-3) = √a(a-3)

m . m' = -1

1/(2√a) . √a(a-3) = -1

-√a = 2√a(a-3)

a = 5/2

b = √(5/2)

jarak titik (3,0) ke (5/2 , √(5/2)

d = √{(5/2-3)^2 + (5/2-0)^2}

d = √(11/4)

d = (√11)/2

fungsi f(x,y) = √x - y

misalkan jarak terdekat f(x,y) ke titik (3,0) terletak di koordinat (x,y)

vektor normal kurva f(x,y) adalah

n = ∇f

n = {1/(2√x), -1}

vektor u = {x-3, y-0}

u = {x-3, √x}

syarat jarak terdekat, vektor u harus sejajar dengan vektor n

n = k u

k adalah sebarang bilangan real,

{1/(2√x), -1} = k {x-3, √x}

1/(2√x) = k(x - 3). . . . . . . . . persamaan 1

-1 = k√x

k = -1/√x. . . . . . . . . persamaan 2

substitusikan persamaan 2 ke persamaan 1,

1/(2√x) = -(x - 3)/√x

selesaikan dengan memisalkan m = √x diperoleh:

x = 5/2

y = ½ √10

sehingga jarak koordinat (5/2, ½ √10) ke (3,0) adalah

d² = (5/2 - 3)² + (½ √10)²

d = ½ √11

silakan periksa sendiri jawabannya dengan Lagrange multipliers method, http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers

hasilnya harus sama.